Verifica que si un entero es simultaneamente un cuadrado y un cubo, entonces este tiene que ser ya sea multiplo de 7 o dejar residuo 1 al dividirlo entre siete.
Sea $n$ un entero que es un cuadrado y un cubo. Entonces, existen $a,b\in \mathbb{Z}$ tales que $n=a^{2}=b^{3}$.
Por el algoritmo de la división, existen $k\in \mathbb{Z}$ y $0\leq r<7$ tales que $a=7k+r$
$\Rightarrow n=a^{2}=49k^{2}+14kr+r^{2}=7(7k^{2}+2kr)+r^{2}$
Como $0\leq r<7$,
$r=0 \Rightarrow r^{2}=0$
$r=1 \Rightarrow r^{2}=1$
$r=2 \Rightarrow r^{2}=4$
$r=3 \Rightarrow r^{2}=2$
$r=4 \Rightarrow r^{2}=2$
$r=5 \Rightarrow r^{2}=4$
$r=6 \Rightarrow r^{2}=1$
Entonces, $r^{2}=0$, $r^{2}=1$, $r^{2}=2$ ó $r^{2}=4$.
Por lo tanto $a^{2}$ es de la forma $7k$, $7k+1$, $7k+2$ ó $7k+4$.
De la misma forma, por el algoritmo de la división, existen $q\in \mathbb{Z}$ y $0\leq s<7$ tales que $b=7q+s$
$\Rightarrow n=b^{3}=7^{3}q^{3}+3(7q)^{2}s+21qs^{2}+s^{3}=7(7^{2}q^{3}+21q^{2}s+3qs^{2})+s^{3}$
Como $0\leq s<7$, $s^{3}=0$, $s^{3}=1$ ó $s^{3}=6$.
Por lo tanto $b^{3}$ es de la forma $7k$, $7k+1$ ó $7k+6$. Entonces, como $n$ es a la vez un cuadrado y un cubo, es de la forma $7k$ ó $7k+1$.