Usa El Principio Del Buen Orden Ara Demostrar Que Cualquier

Usa el principio del buen orden ara demostrar que cualquier número racional $r\in \mathbb{Q}$ puede ser escrito como $r=\frac ab$ con $a,b\in \mathbb{Z}$ sin factores comunes.
Supongamos que existe un $r=a/b \in \mathbb{Q}$, donde podemos suponer $a>0$, que no se puede escribir como razón de dos enteros sin factores en común. Consideremos así el conjunto $A=\{x \in \mathbb{Z}^{+} \mid \exists y \in \mathbb{Z} (x/y) no se puede escribir sin factores en común \}$. Esto es, el conjunto de enteros positivos que son numeradores de fracciones que no pueden ser escritas sin factores en común.
$A\neq \emptyset$ pues $a \in A$. Este es un conjunto no vacío de naturales por lo que tiene elemento mínimo $n$. Así, $n$ es el numerador de algún racional $n/m$ que no puede ser escrito sin factores en común. Sea $p$ un factor común de $n$ y $m$. Así, $(n/p)/(m/p)=n/m$ no puede ser escrito sin factores en común pues esto implicaría que $n/m$ puede ser escrito sin factores en común y estamos suponiendo que no. Esto implica $n/p \in A$ pero $n/p < n$ lo que contradice la minimalidad de $n$ en $A$.
Por lo tanto, $A=\emptyset$ y la prueba está completa.