Tiene Soluciones Enteras Si Y Solamente Si

Hip. $ax+by+cz=d$ tiene soluciones enteras
P.d $(a,b,c)|d$
Sea $d´=(a,b)$ por el Algoritmo de Euclides existen enteros $v,w$ tales que $d´=av+bw$
y $d´s=avs+bws$ sea $vs=x$ y $ws=y$ con lo que tenemos $d´s=ax+by$
Entonces $ax+by+cz=d´s +cz$
Por lo que $d´s+cz=d$
Como la ecuación tiene solución $(d´,c)|d$ pero $d´=(a,b)$
Entonces $((a,b),c)|d$ pero $((a,b),c)=(a,b,c)$
Con lo que $(a,b,c)|d$

Hip. $(a,b,c)|d$
P.d. $ax+by+cz=d$ tiene soluciones enteras
Sea $d´=(a,b,c)$ por el Algoritmo de Euclides existen enteros $x_0 y_0 z_0$ tales que
$d´=ax_0 +by_0 + cz_0$
Como $d´|d$ existe $s$ entero talque $d=d´s$
Con lo que $d=d´s=ax_0s +by_0s + cz_0s$
Y $x=x_0s$ $y=y_0s$ $z=z_0s$ son enteros cuya existencia esta asegurada.
Por lo que $ax+by+cz=d$ tiene soluciones enteras.

Para la primera parte, me parece que lo podemos hacer un poco más fácil, pues si $g:=(a,b,c)$ sabemos que $a=gp,\: b=gq.\: c=gr$ con $p,q\: y\: r\in Z\therefore$ si $(x,y,z)$ es una solución de la ecuación, tenemos que $d=g(px+qy+rz)\to g\mid d$

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License