Teorema Fundamental De La Aritmetica

El Teorema Fundamental de la Aritmética

Teorema: Todo entero $n>1$ puede ser escrito como producto de primos, esta representación es única salvo por el orden de sus factores.

Demostración: Todo número $n>1$ o es primo o es compuesto, si es primo no hay nada que hacer, de lo contrario $n$ tiene un divisor $d$ tal que $1< d < n$. Por el principio del buen orden podemos suponer que $d$ es el menor. Entonces $d$ tiene que ser primo, de lo contrario este tendría un divisor positivo mayor que $1$ que es menor que $d$ y que también es divisor de $n$, contradiciendo la minimalidad de $d$. Podemos entonces escribir $n=p_1n_1$ con $p_1$ primo y $1< n_1 <n$. Si $n_1$ es primo, entonces hemos terminado, si no podemos repetir el proceso y existe un primo $p_2$ tal que $n_1 = p_2 n_2$ y $n=p_1p_2n_2$ con $1<n_2<n_1<n$. Si $n_2$ es primo, hemos terminado, de lo contrario continuamos con el proceso o obtenemos una sucesión descendiente

(1)
\begin{align} n> n_1 >n_2 > \cdots > 1 \end{align}

que no puede continuar indefinidamente. Entonces, después de nu número finito de pasos tenemos que

(2)
\begin{align} n=p_1p_2\cdots p_r. \end{align}

Para ver que esta expresión es única (salvo orden) entonces supongamos que tenemos dos expresiones tal que:

(3)
\begin{align} n=p_1p_2\cdots p_r = q_1 q_2\cdots q_s \qquad r\le s \end{align}

con los $p_i's, q_j's$ primos. Como $p_1\mid q_1\cdots q_s$ entonces $p_1=q_j$ para algún $j$. Renombrado si es necesario podemos suponer que $p_1=q_1$. Dividiendo entre $p_1 =q_1$ obtenemos que

(4)
\begin{align} p_2p_3\cdots p_r = q_2q_3\cdots q_s \qquad r\le s. \end{align}

Repetimos el argumento $r$ veces. Si $r<s$ entonces $q_{r+1}\cdots q_s=1$ no es posible, por lo tanto $r=s$ y hemos terminado la prueba.

Notemos que muchos de los primos en la factorización de $n$ pueden no ser distintos, por ejemplo $100==(2)(2)(5)(5)$.

Corolario: Para todo entero $n>1$ podemos escribir de manera única

(5)
\begin{align} n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r} \end{align}

con las $\alpha_i\ge 1$, cada $p_i$ primo y $p_1<p_2<\cdots <p_r$.

Tenemos que mencionar que existen diversas estructuras algebraicas que tienen una noción de primo y que la factorización en primos no es única!!!. Por ejemplo el conjunto $2 \mathbb{Z}$ de los números pares. Un número es 2-primo si no es el producto de dos enteros pares. Entonces 2,6, 10,… son 2-primos y $4,8,12\ldots$ no lo son. En este caso $60= 2(30)= 6(10)$. El problema está en que los números 2-primos no satisfacen el criterio de divisibilidad que gozan los primos pues $6\mid 2(30)$ pero $6 \nmid 2$ ni $6\nmid 30$ en $2 \mathbb{Z}$.

Teorema (Pitagoras) El número real $\sqrt 2$ no es racional.

Para ver una nota histórica y problemas relacionados: Sobre la raíz de dos

máximo común divisor y mínimo común múltiplo en la factorización de primos.

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