Suma De Divisores

Se ha encontrdo que algunas funciones son de fundamental importancia en el estudio de los divisores de un entero. Cualquier función cuyo dominio sea el conjunto de enteros postivios es llamada una función aritmética. Notar que el valor de una función aritmética no tiene que ser necesariamente un número entero, sin embargo, la mayoría de las funciones aritméticas que encontraremos tienen esta propiedad.

Definición: Dados enteros postivios $n$, denotamos por $\tau(n)$ a el número de divisores positivos de $n$ y por $\sigma(n)$ la suma de dichos divisores.

Ejermplo: $\tau(12)=6$ mientras que $\sigma(12)= 28.$

Es fácil ver que $\tau(p)=2$ si y sólo sí $p$ es primo y que $\sigma(p) = p+1$ tembién es equivalente a que $p$ sea primo.

Recordemos la notación $\sum_{d\mid n}f(d)$ que significa que estamos sumando los valores de la función $f$ sobre todos los divisores positivos $d$ de $n$.

Así tenemos que:

(1)
\begin{align} \tau(n) = \sum_{d\mid n}1;\qquad \sigma(n)=\sum_{d\mid n} d. \end{align}

Teorema Si $n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha^r}$ es la factorización en primos de $n>1$, entonces los divisores positivos de $n$ son precisamente los enteros de la forma:

(2)
\begin{align} d= p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r}; \quad \text{con}\quad 0\le a_i \le \alpha_i, \quad i=1,2,\ldots,r \end{align}

Demostración: Primero notemos que el resultado es trivialmente cierto si $n=p^k$ es una potencia de un primo. Ahora si $d|mid n$ y si $p^a \mid d$ es la máxima potencia de $p$ que divide a $d$ entonces $p^a\mid n$ y por lo tanto $p=p_i$ para algún $p_i$ factor primo de $n$ y si $p_i^{\alpha_i}$ es la mayor potencia de $p=p_i$ que divide a $n$ entonces $p^a\mid p_i^{\alpha_i}$ implicando que $0\le a_i \le \alpha_i$. Conversamente si $d$ tiene la forma que dice el enunciado, entonces cada potencia $p^{a_i}\mid p^{\alpha_i}$ y por lo tanto al hacer el producto sobre todas las $i$ obtenemos que $d\mid n$.

Teorema: Si $p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha^r}$ es la factorización en primos de $n$, entonces:

(3)
\begin{align} \tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots (\alpha_r+1) // \sigma(n) = \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_r^{\alpha_r+1}-1}{p_r-1} \end{align}

Demostración: Por el resultado anterior, sabemos que todos los divisores $d$ de $n$ están dados por

(4)
\begin{align} d=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_r^{a_r},\qquad 0\le a_i\le \alpha_i \end{align}

así que contar tales divisores es equivalente a conter las $r$-adas de enteros $(a_1,a_2,\ldots, a_r )$ con $0\le a_i\le \alpha_i$ dando como resultado

(5)
\begin{align} (a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_r+1). \end{align}

Por otro lado, si consideramos el producto:

(6)
\begin{align} \prod_{i_1}^r (1+p_i + p+i^2 + \cdots + p_i^{\alpha_i}) \end{align}

y realizamos la expansión, vemos que cada divisor $d$ aparece exactamente una vez como sumando. Así

(7)
\begin{align} \sigma(n) = \prod_{i_1}^r (1+p_i + p+i^2 + \cdots + p_i^{\alpha_i} )= \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdots \frac{p_r^{\alpha_r+1}-1}{p_r-1}. \end{align}

Ejemplo: El número $180=2^23^25$ entonces $\tau(180)= (2+1)(2+1)(1+1)= 18$ mientras que

(8)
\begin{align} \sigma(180)= \frac{2^3-1}{2-1}\frac{3^3-1}{3-1}\frac{ 5^2-1}{5-1} = 7(13)(6)= 546 \end{align}

Corolario: El producto de todos los divisores positivos de $n$ es $n^{\tau(n)/2}$.

Ejemplo: El producto de los divisores de 16 es $16^{\tau(16)/2}$ como $16= 2^4$ entonces $\tau(16) = 5$ y entonces $16^{5/2}= 4^5 =1024$.

Definición: Una funcíon aritmética $f$ es multiplicativa si se tiene que:

(9)
\begin{equation} f(nm)=f(n)f(m) \end{equation}

para enteros $m,n$ con $(m,n)=1$.

Un ejemplos triviales de funciones multiplicativas son $f(n)=1$ y $g(n)=m$.

Pregunta ¿Son $\tau, \sigma$ funciones multiplicativas?

Por inducción podemos demostrar que si $f$ es multiplicativa entonces

(10)
\begin{align} f(n_1n_2\cdots n_k) = f(n_1)f(n_2)\cdots f(n_k). \end{align}

Observaciones:

  1. Una función multiplicativa está completamente determinada una vez que conocemos sus valores en las potencias de números primos.
  2. Si $f$ no se anula identicamente, entonces $f(1)=1$.

Teoream Las funciones $\sigma$ y $\tau$ son multiplicativas.

Aplicar las definiciones directamente y la factorización en primos.

Lema Si $m,n$ son primos relativos, entonces el conjunto de divisores de el producto $mn$ consiste de todos los números de la forma $d_1d_2$ con $d_1\mid m$ y $d_2\mid n$ tal que $(d_1,d_2)=1$. Más aún, todos estos productos son distintos.

Es una cosecuencia de la factorización en primos.

Teoream Si $f$ es una funcíon multiplicativa y si $F$ es definida por:

(11)
\begin{align} F(n) = \sum_{d\mid n}f(d) \end{align}

entonces $F$ también es multiplicativa.

Demostración: Sean $m,n$ primos relativos. Entonces

(12)
\begin{align} F(nm)=\sum_{d\mid mn} f(d) = \sum_{(d_1,d_2)} f(d_1d_2) \end{align}

donde la segunda suma corre sobre todos los pares ordenados $(d_1,d_2)$ tal que $d_1\mid n$, $d_2\mid n$ y $(d_1,d_2)=1$, la igualdad de las sumas es gracias al lema anterior.
Por la definicón de funcíon multiplicativa tenemos que $f(d_1d_2)=f(d_1)f(d_2)$ y entonces:

(13)
\begin{align} F(nm)=\sum_{d\mid mn} f(d) = \sum_{(d_1,d_2)} f(d_1)f(d_2) = \left(\sum_{d_1\mid n} f(d_1)\right) \left(\sum_{d_2\mid m}f(d_2)\right) = F(n)F(m). \end{align}

Corolario: $\tau,\sigma$ son multiplicativas.

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