Si Y Solo Si Los Exponentes Que Aparecen En Su Factorizacion

Muestra que un entero $n$ es un cuadrado, si y sólo si los exponentes que aparecen en su factorización en primos son todos números pares.

Supongamos que $n$ es un cuadrado. Entonces existe $a\in \mathbb{Z}$ tal que $n=a^{2}$. Expresando a $a$ como producto de primos se tiene que

$a=p_{1}^{\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{\alpha_{n}}$, con $p_{1},\ldots ,p_{n}$ primos y $\alpha_{1},\ldots ,\alpha_{n}\in \mathbb{N}$

Entonces, $n=\left( p_{1}^{\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{\alpha_{n}}\right) ^{2}=p_{1}^{2\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{2\alpha_{n}}$

$2\alpha_{1},\ldots ,2\alpha_{n}$ son pares, y, por lo tanto, los exponentes que aparecen en la factorización en primos de $n$ son todos pares.

Ahora, para el regreso, supongamos que los exponentes que aparecen en la factorización en primos de un entero $n$ son todos números pares.

Entonces, $n=p_{1}^{2\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{2\alpha_{n}}=\left( p_{1}^{\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{\alpha_{n}}\right) ^{2}$

Esto implica que $\sqrt {n}=p_{1}^{\alpha_{1}}\ldots p_{n}^{\alpha_{n}}$, y entonces $\sqrt {n}\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $n$ es un cuadrado.

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