S Primo O Producto De S Primos

Prueba que cualquier elemento de S es o S-primo o producto de S-primos.

Demostración:

Sea $a\in S$.
+Si $a$ es S-primo, ya no hay nada que hacer.

+Si $a$ no es S-primo, entonces $a$ puede ser factorizado como producto de dos enteros de S,
es decir, $a=zw$ con $z,w\in S$ tal que $1$ ˂ $z,w$ ˂ $a$

Ahora, definamos $C$={$a\in S$:no son producto de S-primos} $\subseteq$ $N$

+Si $C=\emptyset$, entonces no existen elementos de S que no sean producto de S-primos, por tanto,
todos son producto de S-primos.

+Si $C\neq\emptyset$, dado que $C$ $\subseteq$ $N$, por el $P.B.O$. tiene primer elemento,
digamos que sea $a=zw$ con
$1$ ˂ $z,w$ ˂ $a$
Como $z,w$ ˂ $a$ $\Rightarrow$ $z,w\notin C$
$\Rightarrow$ $w=x_1 x_2...x_r$ donde ${x_i}$ es S-primo para $i=1,...,r$ y
$z=y_1 y_2...y_s$ donde ${y_i}$ es S-primo para $i=1,...,s$ y, $x_i\neq y_i$
$\Rightarrow$ $a=x_1 x_2...x_r y_1 y_2...y_s$ es producto de S-primos.
Esto contradice que $a\in C$.
$\Rightarrow$ $C=\emptyset$
Por tanto, $\forall$ $a\in S$ o es S-primo o es producto de S-primos.

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