Demostración

Como a y b son primos relativos, existen $x,y\in \mathbb{Z}$ tales que $ax+by=1$. Como $c \mid a+b$, existe $q\in \mathbb{Z}$ tal que $a+b=cq$. Entonces, $a=cq-b$. Sustituyendo $a$ en $ax+by=1$, tenemos que $(cq-b)x+by=1$. Entonces, $c(qx)+b(y-x)=1$, con $qx,y-x\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $(b,c)=1$.
Análogamente, de $a+b=cq$ tenemos que $b=cq-a$. Entonces $ax+(cq-a)y=a(x-y)+c(qy)=1$, con $x-y,qy\in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, $(a,c)=1$.

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License