Reciprocidad Cuadratica

Congruencias cuadráticas

Supongamos que $p$ es un primo impar y consideremos la congruencias cuadrática:

(1)
\begin{align} ax^2 +bx +c equiv 0 \pmod p \end{align}

Si multiplicamos por $4a$ y factorizamos encontramos que:

(2)
\begin{align} 4a(ax^2 +bx +c ) \equiv (2ax+b)^2 - (b^2-4ac) \pmod p \end{align}

por lo que:

(3)
\begin{align} (2ax+b)^2 \equiv (b^2-4ac) \pmod p \end{align}

Ahora hacemos $y=2ax+b$ y $d=b^2-4ac$ para obtener la congruencia:

(4)
\begin{align} y^2\equiv d \pmod p \end{align}

Tenemos que si $x_0$ es una solución de Eq.(1) entonces $y=2ax_0 +b$ satisface la segunda congrencia Eq.(4) y conversamente, si $y\equiv y_0 \pmod p$ es una solución de la congruencia entonces $2ax \equiv y_0 - b$ se puede resolver para $x$ y obtener una solución de la congruencia cuadrática original.

Así hemos reducido nuestro estudio a las congruencias de la forma

(5)
\begin{align} x^2 \equiv a \pmod p \end{align}

El caso $a\equiv 0$ tiene solución trivial única, por lo que podemos suponer que $p\nmid a$. Notemos que si $x_0$ es una solución de Eq.(5) entonces $-x = p-x$ es otra solución no congruente. Además por la sección anterior sabemos que estas son las únicas dos soluciones que tiene la ecuación.

Ejemplo: Resuelve $5x^2-6x+2$.

Definición: Un entero $a$ tal que $(a,p)=1$ es llamado un residuo cuadrático, si la congruencia

(6)
\begin{align} x^2 \equiv a \pmod p \end{align}

tiene solución.

Teorema (Euler): Si $p$ es un primo impar y supongamos que $p\nmid a$, entonces $a$ es un residuo cuadrático si y sólo si $a^{(p-1)/2}\equiv 1 \pmod p$.

La prueba es una simple apliciación del caso más general estudiado en la sección anterior, tomando en cuenta que $p$ siempre tiene raíces pirmitivas.

Corolario: Para $p$ primio impar y $a$ no un múltiplo de $p$, se tiene que:

(7)
\begin{align} a^{(p-1)/2}\equiv 1 \pmod p \quad \text{ó} \quad a^{(p-1)/2}\equiv -1 \pmod p . \end{align}

El símbolo de Legandre

Supongamos que $p$ es un primo impar y que $(a,p)=1$
Definición: El símbolo de Legandre $(a/p)$ se define como:

(8)
\begin{align} (a/p)= \begin{cases} 1 & \text{si }\ a \ \text{es un residuo cuadrático}\\ -1 & \text{ en otro caso} \end{cases} \end{align}

Si $p\mid a$ es conveniente extender la definición del símbolo de Legandre como $(a/p)=0$ en este caso. La ventaja de eso es que entoces podemos decir que el número de soluciones de la congruencia $x^2\equiv a \pmod p$ es $1+(a/p)$.

Teorema: Sean $a,b$ entreros primos relativos con $p$. Entonces:

  1. Si $a\equiv b \pmod p$, entonces $(a/b) = (b/p)$
  2. $(a^2/P)=1$.
  3. $(a/p)\equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$.
  4. $(ab/p)=(a/p)(b/P)$.
  5. $(1/p)=1$ y $(-1/p) = (-1)^{(p-1)/2}$.
  6. $(ab^2/p)=(a/p)$.

Corlario: $(-1/p)$ toma el valor 1 para los primos de la forma $p=4k+1$ y el valor -1 para los primos de laforma $p=4k+3$.

Ejemplo: Determina si -38 es un residuo cuadrático de 13.

Teorema: Hay una infinidad de primos de la forma $4k+1$.

Teorema Se tiene que:

(9)
\begin{align} \sum_{a=1}^{p-1}(a/p) = 0. \end{align}

por lo que hay exactamente la misma cantidad de residuos cuadráticos que de no residuos cuadráticos.

Demostración: Usa el hecho de que $p$ tiene raices primitivas y escribir esta suma en términos de la raíz primitiva.

Corolario: Los residuos cuadráticos de un primo impar son congruentes módulo $p$ a las potencias paraes de una raíz primitiva y los residuos no cuadráticos a las potencias impares.

Ejermplo: Cosiderar las potencias de una raíz primitiva (por ejemplo 2) módulo 13.

Teorema (Gauss):: Si $p$ es un primo imapar y si $(a,p)=1$. Denotemos por $n$ al número de enteros en el conjunto:

(10)
\begin{align} S= \left\{ a, 2a, 3a, \ldots, \left( \frac{p-1}{2} \right)a \right\} \end{align}

cuyo resido al dividirlo entre $p$ es mayor que $p/2$, entonces $(a/p) = (-1)^n$.

Demostración: Como $(a,p)=1$, ninguno de los $\tfrac{p-2}{2}$ enteros en $S$ es congruetne a cero y no dos de ellos son congruentes entre sí módulo $p$. Sean $r_1, r_2, \ldots, r_m$ estos residuos tal que $0< r_i < p/2$ y $s_1, \ldots, s_n$ los residuos tales que $p> s_i > p/2$. Entonces $m+n= \tfrac{p-1}{2}$ y los enteros

(11)
\begin{align} r_1, \ldots, r_m, p-s_1, \ldots, p- s_n \end{align}

son positivos y menores que $p/2$.

Para demostrar que todos estos enteros son distintos, basta mostrar que ninguno de los $p-s_i$ es igual a alguno de los $r_j$. Si suponemos lo contrario, es decir que para algunos $i,j$ se tiene que

(12)
\begin{equation} p-s_i = r_j \end{equation}

Entonces existen enteros $u,v$, con $1\le u,v\le (p-1)/2$, que satisfacen $s_i = ua \pmod p$ y $r_j \equiv va \pmod p$, por lo que:

(13)
\begin{align} (u+v)a\equiv s_i + r_j \equiv p \equiv 0 \pmod p \end{align}

lo que implica que $u+v \equiv 0 \pmod p$. Pero esto no puede pasar pues $1< u+v \le p-1$.

El punto es que los números $r_1, \ldots r_m, p-s_1, \ldots, p-s_m$ son simplemente los entereos entre $1$ y $(p-1)/2$ en algún orden. Entonces su producto es $(p-1)/2!$. Entonces:

(14)
\begin{align} (p-1)/2! \equiv (-1)^n r_1\cdots r_m s_1\cdots s_n \equiv (-1)^n a\cdot 2a \cdots \left( \frac{p-1}{2} \right)a \end{align}

y la última es congruente a $(-1)^n a^{(p-1)/2}(p-1)/2$ módulo $p$. Ahora cancelamos y el resultado se sigue.

Teorema: Tenemos que

(15)
\begin{align} (2/p) = \begin{cases} 1 & \ \text{si}\ p \equiv 1 \pmod 8\\ -1 & \ \text{si}\ p \equiv 3 \pmod 8 \end{cases} \end{align}
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