11 111 1111 11111

Un número el cual todos sus dígitos son 1's se puede ver de la forma $1+10+100+\dots+10^k+\dots$ Nótese que $10=4(2)+2$ y $100=4*25$ además del cien en adelante $4|10^k$ entonces el numero $111\dots111$ se puede reescribir como $1+[4(2)+2]+4(25+250+2500+\dots)=4q+2+1=4q+3$

Ahora veamos que ningún $n^2$ puede ser de esta forma:

Si $n=2k$, $n^2=4(k^2)$. Por otro lado, si $n=2k+1$, $n^2=4(k^2+k)+1$. Así que ningún cuadrado perfecto puede ser de la forma $4k+3$ por lo que ningún número de la forma $111 \dots 111$ puede ser un cuadrado perfecto. Esto completa la demostración.

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