11 111 1111 11111 Q

Demostrar que los números de la forma 11, 111, 1111,… no son cuadrados perfectos.

Como el número consta de puros $1's$ entonces se puede escribir de la forma:

$11111...11...=1+10+100+...$

además

$10=4*2+2$

y también se tiene que

$4|10^n$ para $n>2$

Por lo tanto

$1+10+100+1000+...=1+(4*2+2)+4*25+4*250+...=3+4(2+25+250+2500+...)$

tons es de la forma $4q+3$

Para mostrar que estos números no son cuadrados perfectos note que por el algoritmo de la división todo numero es par o impar, esto es:

$n=2p$ o $n=2p+1$

si $n$ es par su cuadrado también es par $n^2=(2p)^2=4p^2$ por tanto no es de la forma $4q+3$

si $n$ es impar $n^2=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1$ tampoco es de la forma $4q+3$

Entonces, ningún numero par deja residuo 3 al dividirlo por 4 mientras que los números de la forma 11111… todos ellos dejan residuo 3. Esto demuestra que ninguno de esos números es cuadrado perfecto

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