Prueba Que

Prueba que si $a,b \in \mathbb{Z}$, con $b>0$, entonces existen enteros únicos $q,r$ tales que $a=qb+r$ con $2b \le r < 3b$.

Por el algoritmo de la división, sabemos que existen $q' \land r'$ tales que $a=q'b+r'$ con $0 \le r' < b$ entonces se tiene que $a=(q'-2)b+2b+r'$ haciendo $q=q'-2 \land r=2b+r'$ se tiene que $a=qb+r$, además como $0 \le r' < b$ entonces $2b \le r < 2b+b=3b$. Como $q' \land r'$ son únicos entonces, también lo son $q \land r$.

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