Prueba Mcd5 2

Prueba que si $(a,b)=1$, entonces $(ac,b)=(c,b)$.

Sean $d:=(ac,b)$ y $g:=(c,b)$, como $g|c\rightarrow g|ac$, entonces
$g|d$ pues es divisor común de $ac$ y $b$.

Luego, existen enteros $x,y$ tales que

(1)
\begin{equation} ax+by=1 \end{equation}

y enteros $x', y'$ tales que $cx'+by'=g$, entonces, por (1), tenemos que

(2)
\begin{align} (ax+by)(cx'+by')=g\\ ac(xx') + b(axy') + b(ycx') + b(byy') =g\\ ac(xx') + b(axy' +ycx' +byy') =g \end{align}

ac(xx')+b(cx'y+y')=g

La última igualdad implica que $d|g$ y como ambos son positivos, se sigue la igualdad.

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