Prueba

Primero veamos que si un numero es par entonces al elevarlo al cubo sigue siendo par, además si es impar su cubo también es impar.
Efectivamente:

  • Si $a=2q$ entonces $a^3=8q^3=2(4)q^3$ (número par)
  • Si $a=2q+1$ entonces $a^3=(2q+1)^3=8q^3+12q^2+6q+1=q(8q^2+12q+6)+1$ (número impar)

Ahora si se toman dos números consecutivos uno es par y el otro es impar, por lo tanto al elevarlos al cubo uno es par y el otro es impar.
La diferencia de un numero par y uno impar es siempre impar pues:

  • si $a=2q$ y $b=2p+1$ entonces $a-b=2q-(2p+1)=2(q-p)-1=2(q-p-1)+1$ número impar.
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