Para Cada Entero Positivo

Muestra que $\sum_{d\mid n} \frac 1d = \sigma(n)/n$ para cada entero positivo $n$.

$\frac {\sigma(n)}{n}=\frac {\sum_{d\mid n} d}{n}=\sum_{d\mid n} \frac dn$

Si $d,d'\in \mathbb{Z}$ son divisores de $n$ tales que $n=dd'$, entonces

$1=\frac {d}{n}d'$

$\Rightarrow$$\frac {1}{d'}=\frac {d}{n}$

Entonces, $\sum_{d\mid n} \frac dn=\sum_{d'\mid n} \frac {1}{d'}$, y por lo tanto $\frac {\sigma(n)}{n}=\sum_{d'\mid n} \frac {1}{d'}$

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