Mario Espinal

$l^{\infty}$ es completo

sea $X=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}\subset l^{\infty}$ una sucesión de Cauchy donde $x_n=\{z_{nk}\}_{k \in \mathbb{N}}$ es una sucesión en $l^{\infty}$.
tomando una $k$ fija, construimos $y_k=\{z_{nk}\}_{n \in \mathbb{N}}$ tomando el k-ésimo termino de cada una de las sucesiones $x_n$, esto es $z_{1k}$ es el k-ésimo termino del primer elemento de $X$ (este es $x_1$)

la cual es una sucesión de Cauchy de números Reales ($y_k \subset \mathbb{R}$). Como $\mathbb{R}$ es completo existe $y_k^*$ tal que $y_k\rightarrow y_k^*$. Esto para toda $k$ en los naturales.

Formamos la sucesión $Y$ con todos esos $y_k^*$, esto es $Y=\{y_k^*\}_{k \in \mathbb{N}}$.

¿Como probar que $Y \in l^{\infty}$ y que X converge a Y ?

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