Leibiniz

Prueba (por inducción) la fórmula de Leibiniz del cálculo diferencial: $D^n(fg) = \sum_{r=0}^n\binom nr D^{n-r}f\, D^rg$.

Primero notemos que:

$\displaystyle\binom nr + \binom {n}{r-1}=\binom {n+1}{r}$

Esto porque:

$\displaystyle\binom nr + \binom {n}{r-1}=\frac{n!}{r!(n-r)}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}$

$\displaystyle=\frac{n!}{r(r-1)!(n-r)!}+\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)(n-r)!}$

$\displaystyle=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\left(\frac{1}{r}+\frac{1}{(n-r+1)}\right)$

$\displaystyle=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}\left(\frac{n+1}{r(n-r+1)}\right)$

$\displaystyle=\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}$

$\displaystyle=\binom{n+1}{r}$

Ahora ser hará inducción sombre $n$.

El caso base $n=1$

$\displaystyle D(fg) = \sum_{r=0}^1\binom 1r D^{1-r}f\, D^rg$
$=(Df)g+(f)Dg$

es simplemente la regla de la derivada de un producto (la afirmación es verdadera).

Suponemos verdadero para $n$

$\displaystyle D^n(fg) = \sum_{r=0}^n\binom nr D^{n-r}f\, D^rg$

Por demostrar que es verdadero para n+1.

$D^{n+1}(fg) =D(D^n(fg))$

$\displaystyle=D\left[ \sum_{r=0}^n\binom nr D^{n-r}f\, D^rg\right]$ (esto por hipótesis inductiva)

$\displaystyle=\sum_{r=0}^n\binom nrD\left[ D^{n-r}f\, D^rg\right]$ (esto por linealidad de la derivada)

$\displaystyle=\sum_{r=0}^n\binom nr\left[ D^{n-r+1}f\, D^rg+D^{n-r}f\,D^{r+1}g\right]$ (esto por ser la derivada de un producto)

$\displaystyle=\sum_{r=0}^n\binom nr D^{n-r+1}f\, D^rg+\sum_{r=0}^n\binom nrD^{n-r}f\,D^{r+1}g$

$\displaystyle=\sum_{r=0}^n\binom nr D^{n-r+1}f\, D^rg+\sum_{r=1}^n\binom{n}{r-1}D^{n-r+1}f\,D^{r}g$ (esto cambiando r por r-1 en la segunda suma)

$\displaystyle=(D^{n+1}f)\,g+\sum_{r=1}^n\binom nr D^{n-r+1}f\, D^rg+\sum_{r=1}^n\binom{n}{r-1}D^{n-r+1}f\,D^{r}g$

$\displaystyle=(D^{n+1}f)\,g+\sum_{r=1}^n\left[\binom nr D^{n-r+1}f\, D^rg+\binom{n}{r-1}D^{n-r+1}f\,D^{r}g\right]$

$\displaystyle=(D^{n+1}f)\,g+\sum_{r=1}^n\left[\binom nr +\binom{n}{r-1}\right]D^{n-r+1}f\,D^{r}g$

$\displaystyle=(D^{n+1}f)\,g+\sum_{r=1}^n\binom {n+1}{r} D^{n-r+1}f\,D^{r}g$ (esto por la nota al principio de la prueba)

$\displaystyle=\sum_{r=0}^n\binom {n+1}{r} D^{n-r+1}f\,D^{r}g$ L.Q.Q.D

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