La función mayor entero es denotada por los corchetes $[\cdot]$ y es muy útil al tratar con problemas de divisibilidad.
Definición: Para un número real positivo $x$, dentoamos por $[x]$ al entero mayor que es menor o igual a $x$. Esto es $[x]$ es el único entero que satisface
(1)Notemos que $[x]=x$ si y solamente si $x$ es un entero. También notemos que todo número real $x$ se puede escribir como $x = [x] +y$ con $0\le y <1$.
Queremos investigar cuantas veces un primo $p$ aparece en $n!$. Por ejemplo para $p=3$ y $n=9$ tenemos que $9! = 2^73^4(5)(7)$, así que la potencia exacta de 3 que divide a $9!$ es 4.
Teorema: Si $n$ es un entero positivo y $p$ es un número primo, entonces el exponente $v_p(n!)$ de la potencia más grande de $p$ que divide $n!$ está dada por la fórmula:
(2)Notemos que esta suma NO es una suma infinita pues $[n/p^k] = 0$ si $p^k>n$.
Demostración:
En la factorización de $n!$ los números que son múltiplos de $p$ son $p, 2p, 3p, \cdots, [n/p] p$ así que $p$ es un divisor de $n!$ por al menos $[n/p]$ veces, sin embargo falta contar en esta suma a los números menores que n que también son divisores de $n^2$; estos son $p^2, 2p^2,\cdots, [n/p^2] p^2$, pero ahora nos faltan los que son múltiplos de $p^3$… continuando con este proceso vemos que la máxima potencia de $p$ que divide a $n!$ es en efecto $\sum_k [n/p^k]$.
Corolario: Se tiene que $n! = \prod_{p\le n} p^{\sum_k [n/p^k]}$.
Ejemplo: Encontremos el número de ceros con los que termina 50! en su representación decimal. Para esto necesitamos contar cuántas veces 10 divide a $50!$ y esto sucederá tantas veces como $\min{ v_2(50!),v_5(50!}$. Tenemos que :
(3)mientras que :
(4)Por lo tanto $50!$ termina con un total de 12 ceros.
Teorema: Si $n,r$ son enteros positivos con $1\le r<n$ entonces el coeficiente binomial:
(5)es también un entero.
Demostración: Observemos que $[a+b]\ge [a]+[b]$. En particular para cada factor primo $p$ de $r!(n-r)!$ se tiene que:
(6)así que sumando en ambos lados de la igualdad sobre $k$ tenemos que:
(7)la primera suma da $v_p(n!)$ y la segunda suma da $v_p(r!) + v_p((n-r)!) = v_p(r!(n-r)!$ lo que significa que la mayor potencia de un primo que divide a $r!(n-r)$ también divide a $n!$ demostrando que el cociente es un entero.
Corolario: Para un entero positivo $r$, el producto de cualesquiera $r$ enteros consecutivos positivos es divisible por $r!$.
Demostración: En efecto tenemos que
(8)y como $\binom mr$ es entero el resultado se sigue.
Teorema: Sea $f$ y $F$ funciones aritméticas tal que
(9)entonces para cualqier entero positivo $N$ se tiene:
(10)Demostración: Notemos que
(11)ahora agrupemos la suma de acuerdo a valores iguales de $f(d)$, para esto notemos que para un entero fijo $k\le N$ el término $f(k)$ aparece en la suma $\sum_{d\mid n }f( d)$ si y sólo si $k$ es un divisor de $n$. Ahora para encontrar el número de sumas $\sum_{d\mid n}f(d)$ en las que $f(d)$ aparece, es suficiente encontrar el número de enteros entre $1,2,\ldots N$ que son divisibles por $k$. Hay exactamente $[N/k]$ de ellos: $k,2k, \ldots, [N/k] k$. Así que para cada $k$ con $1\le k\le N$, $f(k)$ es un término de la suma $\sum_{d\mid n}f(d)$ exactamente para $[N/k]$ diferentes enteros positivos menores o iguales a $N$. Así que podemos reescribir la suma:
(12)y la prueba está terminada.
Corolario: Si $N$ es un entero positivo, entonces:
(13)y
(14)Ejemplo: Calcular $\sum_{n=1}^6 f(n)$ para $f=\tau$ y para $f=\sigma$.