Definición: Para un entero positivo $n$, deminimos $\mu$ por la regla:
(1)Ejemplo: Calcular $\mu(30), \mu(5), \mu(6)$
Notar que si $p$ es primo entonces $\mu(p)= -1$ y que $\mu(p^k)=0$ para $k>1$.
Teorema: La función $\mu$ es multiplicativa.
Demostración: Seam $n,m$ primos relativos. Si $n \lor m$ no son libres de cuadrados entonces tampoco lo es $mn$ y todos los valores son cero en la igualdad $\mu(mn)=\mu(m)\mu(n)$. Supongamos entonces que tanto $m$ como $n$ son libres de cuadrados. Como estos son primos relativos, entonces su factorización en primos involucra primos distintos, así:
$n=p_1p_2\cdots p_4; \quad m= q_1q_2\cdots q_2$ y entonces $mn= p_1p_2\cdots p_r q_1q_2\cdots q-2$
y entonces $\mu(mn) = (-1)^{r+s} = (-1)^r(-1)^s =\mu(n)\mu(s)$.
Teorema: Para todo entero positivo $n\ge 1$ se tiene que:
(2)en donde $d$ recorre todos los enteros positivos de $n$.
Demostración: El caso $n=1$ es claro. Si $n=p^k$ es la potencia de un primo entonces:
(3)Como la función es multiplicativa el resultado se sigue.
Ejemplo: Calcular $F(10)$.
Teorema: (Fórmula de Inversión de Moebius) Sea $F, f$ dos funciones aritméticas que están relacionadas por la fórmula:
(4)entonces:
(5)Demostración:
Las dos sumas en la conclusión son claramente iguales al intercambiár $d$ por $d'$ tal que $dd'=n$.
Tenemos que:
Notemos que $d\mid n$ y $c\mid (n/d)$ si y sólo sí $c\mid$ y $d\mid (n/c)$. Gracias a esta observación tenemos que:
(7)La última suma (interna) debe de anularse excepto cuando $n/c =1$, esto es cuando $n=c$, en cuyo caso este es igual a 1. Así que el lado derecho de la ecuación anterior se simplifica a:
(8)probando el resultado.
Recordemos que las funcones $\sigma$ y $\tau$ se pueden escribir como:
(9)así que si usamos la fórmula de inversión de moebius encontramos que:
(10)Hemos visto anteriormente que cuando $f$ es una función entonces $F(n):=\sum_{d\mid n}f(d)$ también es multiplicativa. La fórmula de inversión de moebius nos permite asegurarque cuando $F$ es multiplicativa entonces también lo es $f$.
Teorema: Si $F$ es una función multiplicativoa y si $F=\sum_{d\mid n}f(d)$ entonces $f$ es multiplicativa.
Demostración: Recordemos que cualquier divisor $d\mid mn$ lo podemos escribir como $d=d_1d_2$ en dónde $d_1\mid m \land d_2\mid n \land (d_1,d_2)=1$. Entonces usando la fórmula de inversión de moebius:
(11)