La Formula De Inversion De Moebius

Definición: Para un entero positivo $n$, deminimos $\mu$ por la regla:

(1)
\begin{align} \mu(n) = \begin{cases} 1 & \mbox{si}\quad n=1 \\ 0 & \mbox{si}\quad p^2 \mid n\ \mbox{para algun primo}\ p\\ (-1)^r & \mbox{si }\quad n=p_1p_2\cdots p_r \ \mbox{ para los } \quad p_i's \ \mbox{ distintos}. \end{cases} \end{align}

Ejemplo: Calcular $\mu(30), \mu(5), \mu(6)$

Notar que si $p$ es primo entonces $\mu(p)= -1$ y que $\mu(p^k)=0$ para $k>1$.

Teorema: La función $\mu$ es multiplicativa.

Demostración: Seam $n,m$ primos relativos. Si $n \lor m$ no son libres de cuadrados entonces tampoco lo es $mn$ y todos los valores son cero en la igualdad $\mu(mn)=\mu(m)\mu(n)$. Supongamos entonces que tanto $m$ como $n$ son libres de cuadrados. Como estos son primos relativos, entonces su factorización en primos involucra primos distintos, así:
$n=p_1p_2\cdots p_4; \quad m= q_1q_2\cdots q_2$ y entonces $mn= p_1p_2\cdots p_r q_1q_2\cdots q-2$
y entonces $\mu(mn) = (-1)^{r+s} = (-1)^r(-1)^s =\mu(n)\mu(s)$.

Teorema: Para todo entero positivo $n\ge 1$ se tiene que:

(2)
\begin{align} F(n):=\sum_{d\mid n}\mu(d) = \begin{cases} 1 & \mbox(si)\quad n=1\\ 0 & \mbox(si)\quad n>1 \end{cases} \end{align}

en donde $d$ recorre todos los enteros positivos de $n$.

Demostración: El caso $n=1$ es claro. Si $n=p^k$ es la potencia de un primo entonces:

(3)
\begin{align} \sum_{d\mid p^k}\mu(d) = \mu(1) + \mu(p) + \mu(p^2) +\cdots + \mu(p^k) = 1 + (-1) =0 \end{align}

Como la función es multiplicativa el resultado se sigue.

Ejemplo: Calcular $F(10)$.

Teorema: (Fórmula de Inversión de Moebius) Sea $F, f$ dos funciones aritméticas que están relacionadas por la fórmula:

(4)
\begin{align} F(n)=\sum_{d\mid n} f(d) \end{align}

entonces:

(5)
\begin{align} f(n) =\sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d)= \sum_{d\mid n} \mu(n/d) F(d);. \end{align}

Demostración:
Las dos sumas en la conclusión son claramente iguales al intercambiár $d$ por $d'$ tal que $dd'=n$.
Tenemos que:

(6)
\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d)F(n/d) = \sum_{d\mid n}\left(\mu(d) \sum_{c\mid (n/d)} f(c)\right) = \sum_{d\mid n}\left( \sum_{c\mid (d/n)} \mu(d)f(c)\right) \end{align}

Notemos que $d\mid n$ y $c\mid (n/d)$ si y sólo sí $c\mid$ y $d\mid (n/c)$. Gracias a esta observación tenemos que:

(7)
\begin{align} \sum_{d\mid n}\left( \sum_{c\mid (n/d)} \mu(d)f(c) \right) = \sum_{c\mid n} \left( \sum_{d\mid (n/c)} f(c)\mu(d) \right)\\ = \sum_{c\mid n} \left( f(c) \sum_{d\mid (n/c) } \mu(d) \right) \end{align}

La última suma (interna) debe de anularse excepto cuando $n/c =1$, esto es cuando $n=c$, en cuyo caso este es igual a 1. Así que el lado derecho de la ecuación anterior se simplifica a:

(8)
\begin{align} \sum_{c\mid n} \left( f(c) \sum_{d\mid (n/c)}\mu(d) \right) = \sum_{c=n} f(c)\cdot 1 = f(n), \end{align}

probando el resultado.

Recordemos que las funcones $\sigma$ y $\tau$ se pueden escribir como:

(9)
\begin{align} \tau(n)= \sum_{d\mid n} 1; \qquad \sigma(n)= \sum_{d\mid n} d \end{align}

así que si usamos la fórmula de inversión de moebius encontramos que:

(10)
\begin{align} 1= \sum_{d\mid n} \mu(n/d) \tau(d) \quad \text{ y } \quad n = \sum_{d\mid n} \mu(n/d) \sigma(d). \end{align}

Hemos visto anteriormente que cuando $f$ es una función entonces $F(n):=\sum_{d\mid n}f(d)$ también es multiplicativa. La fórmula de inversión de moebius nos permite asegurarque cuando $F$ es multiplicativa entonces también lo es $f$.

Teorema: Si $F$ es una función multiplicativoa y si $F=\sum_{d\mid n}f(d)$ entonces $f$ es multiplicativa.

Demostración: Recordemos que cualquier divisor $d\mid mn$ lo podemos escribir como $d=d_1d_2$ en dónde $d_1\mid m \land d_2\mid n \land (d_1,d_2)=1$. Entonces usando la fórmula de inversión de moebius:

(11)
\begin{align} f(nm)=\sum_{d\mid mn} \mu(d)F \left( \frac{mn}{d} \right) = \sum_{d_1\mid n. d_2\mid m} \mu(d_1,d_2) F (mn/d_1d_2) \\ = \sum \mu(d_1)\mu(d_2) F(m/d_1)F(n/d_2) \\ = \sum_{d_1\mid m}\mu(d_1) F(m/d_1) \sum_{d_2\mid n}\mu(d_2) F(n/d_2)\\ = f(n)f(m) \end{align}
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