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• B.I. La afirmación se cumple para n=1 pues $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ por lo que $(a+b)|(a^{2}-b^{2})$
• H.I. Suponemos que la afirmación se cumple para n. Esto es $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)q$
• P.d. $(a+b)|a^{2(n+1)}-b^{2(n+1)}$

(1)

\begin{equation} a^{2(n+1)}-b^{2(n+1)}=a^{2n+2}+b^{2n+2} \end{equation}

(2)

\begin{equation} a^{2n+2}+b^{2n+2}=a^{2n}a^{2}-b^{2n}b^{2} \end{equation}

(3)

\begin{equation} a^{2n}a^{2}-b^{2n}b^{2}=a^{2n}a^{2}-a^{2}b^{2n}+a^{2}b^{2n}-b^{2n}b^{2} \end{equation}

(4)

\begin{equation} a^{2n}a^{2}-a^{2}b^{2n}+a^{2}b^{2n}-b^{2n}b^{2}=a^{2}(a^{2n}-b^{2n})+b^{2n}(a^{2}-b^{2}) \end{equation}

Por B.I. $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ y por H.I. $a^{2n}-b^{2n}=(a+b)q$

(5)

\begin{equation} a^{2}(a^{2n}-b^{2n})+b^{2n}(a^{2}-b^{2})=a^{2}(a+b)q+b^{2n}(a+b)(a-b)=(a+b)(a^{2}q+b^{2n}(a-b)) \end{equation}

Sea $p=a^{2}q+b^{2n}(a-b)$ tenemos que

(6)

\begin{equation} a^{2(n+1)}-b^{2(n+1)}=(a+b)p \end{equation}

Por la definición de divisibilidad $(a+b)|a^{2(n+1)}-b^{2(n+1)}$