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B.I. Con n=1 se cumple la afirmación pues $1^3=1^2=[\frac{1(1+1)}{2}]^2=1$
H.I. Suponemos que la afirmación se cumple para n. Esto es:

(1)
\begin{align} 1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 \end{align}

P.D. Que la afirmación se cumple para n+1. Usando la B.I. tenemos que:

(2)
\begin{align} 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2+(n+1)^3 \end{align}
(3)
\begin{align} =\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 \end{align}
(4)
\begin{align} =\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4} \end{align}
(5)
\begin{align} =\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^2(n+1)}{4} \end{align}
(6)
\begin{align} =\frac{(n+1)^2(n^2+4(n+1))}{4} \end{align}
(7)
\begin{align} =\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4} \end{align}
(8)
\begin{align} =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{2^2} \end{align}
(9)
\begin{align} =[\frac{(n+1)(n+2)}{2}]^2 \end{align}
(10)
\begin{equation} =[1+2+...+n+(n+1)]^2 \end{equation}

Por lo tanto: $1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=[1+2+...+n+(n+1)]^2$

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