La prueba por primos funciona, pero se supone que para este problema aún no se ve lo de factorización en primos por lo que se ha de hacer usando las propiedades del mcd.
Fijate que la prueba anterior está mal. Ahí te va un argumento similar, pero para algo que es obviamente falso:
1) Sabemos que si $(a,b)=1$ y si $a\mid bc$ entonces $a\mid c$.
Ahora supongamos que yo afirmo que en general:
Afirmación (que es falsa): En general si $a\mid bc$ y $a\nmid b$ entonces $a\mid c$.
Supuesta demostración (con argumento similar): Como $a\nmid b$ podemos suponer, sin perdida de generalidad que $(a,b)=1$ pues dividimos entre el divisor común. Entonces como $(a,b)=1$ y $a\mid bc$ por lo que sabemos (1), se tiene que $a\mid c$. QED.
El argumento es básicamente el mismo del ejercicio, pero claramente la afirmación es falsa. Por lo que el argumento de reducir a primos relativos no puede ser correcto así porque sí, se tendría que argumentar….