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Es verdad, ya corregí el error. En realidad es $n/\sigma(n)$ y no $1/\sigma(n)$ como estaba escrito.


Los grupos, como las personas, son conocidos por sus acciones.

Re: 6.1 Funciones aritméticas por YoyontzinYoyontzin, 17 Sep 2014 00:27

Tengo una duda en este problema. Creo que la segunda desigualdad no está bien porque, por ejemplo, para n=2 no se cumple.

6.1 Funciones aritméticas por Ananda LCAnanda LC, 16 Sep 2014 22:36

Si, de hecho hay que modificar el enunciado para que sea correcto y ponerle $n> 4$.


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Ok entonces a los anteriores no los tomo en cuenta y solo va apartir del 5

por fa chequen la observación en el ejercicio 3.3 de inducción y el 3 de diofantinas, este último me parece que está bien, pero creo que la primera parte se puede simplificar

inducción 3.3 y diofantinas 3 por karlocorikarlocori, 08 Sep 2014 18:25

Sí, para 2 es igualdad y si te fijas para 3 la desigualdad no es cierta, para 4 nuevamente es igualdad, sin embargo, para 5 la desigualdad es estricta, checa a partir de qué natural la desigualdad es válida y que esa sea tu base de inducción.

es que dice Demuestra que $2^n > n^2$ para $n\ge 0$.

pero como le hago lo parto en 2 o como??? ya que cuando evaluamos 2 → $2^2 = 4 = 2^2$ y el problema dice mayor estricto…

Es importante que no dejen estos ejercicios así con esta falta! ¿A ver quién se anima? ¿Entendieron cuál es el problema con la prueba propuesta?


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Re: euclides 3.3 por YoyontzinYoyontzin, 07 Sep 2014 02:08

Checar aclaración de Euclides 3.3 y 3.4

euclides 3.3 por karlocorikarlocori, 04 Sep 2014 04:25

Si, ese es el argmuento que faltaba.

Entonces quedaría algo así (tratando de no pasar a los racionales):

Supongamos $a^n\mid b^n$. Sea $(a,b)=d$, entonces $a=dr \land b=ds$ con $(r,s)=1$. Como $a^n\mid b^n$ entonces $d^nr^n \mid d^ns^n$ y entonces $r^n\mid s^n$. Por el inciso anterior sabemos sin embargo que $(r^n,s^n)=1$, pero vimos que $r^n\mid s^n$ entonces $r^n=1$ y entonces $r=1$ por lo que $a=d =(a,b)$ y por lo tanto $a\mid b$.

En realidad lo que yo decía que había que hacer era la prueba del inciso anterior, que se usa para demostrar este.


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Re: euclides 4.2 por YoyontzinYoyontzin, 27 Aug 2014 03:59

Pero me quedó la duda, retomando el primer intento de prueba, si a no divide a b y (a,b)=d>1, entonces ya habíamos visto que a=dr y b=ds con (r,s)=1, de manera que $a^{n}=d^{n}r^{n}$ y $b^{n}=d^{n}s^{n}$, por lo que $\frac{b^{n}}{a^{n}}=\frac{s^{n}}{r^{n}}$ pues se cancelan los $d^{n}$ y ahora sí, usando el inciso anterior, $(r^{n}, s^{n})=1$, por lo que el cociente anterior no puede ser un entero, no??

Re: euclides 4.2 por karlocorikarlocori, 27 Aug 2014 02:59

Ellos dijeron que como ya habían visto el TFA, asumían que podían utilizarlo, espero que completen y escriban bien la prueba que propones.

Re: euclides 4.2 por karlocorikarlocori, 27 Aug 2014 01:55

La idea de la prueba.

1) En un ejercicio anterior se probo que si $(a,b)=1$ y $(a,c)=1$ entonces $(a,bc)=1$ (Es fácil de demostrar).

2) Demostrar que $(a,b)=1 \land (a,b)=1 \Rightarrow (a,b^2)=1$ usando 1)

3) Demostrar que $(a,b^n)=1$ (por ejemplo por inducción).

4) Demostrar que $(a^n,b^n)=1$ repitiendo los argumentos anteriores.


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Re: euclides 4.2 por YoyontzinYoyontzin, 27 Aug 2014 00:54

La prueba por primos funciona, pero se supone que para este problema aún no se ve lo de factorización en primos por lo que se ha de hacer usando las propiedades del mcd.

Fijate que la prueba anterior está mal. Ahí te va un argumento similar, pero para algo que es obviamente falso:

1) Sabemos que si $(a,b)=1$ y si $a\mid bc$ entonces $a\mid c$.

Ahora supongamos que yo afirmo que en general:

Afirmación (que es falsa): En general si $a\mid bc$ y $a\nmid b$ entonces $a\mid c$.

Supuesta demostración (con argumento similar): Como $a\nmid b$ podemos suponer, sin perdida de generalidad que $(a,b)=1$ pues dividimos entre el divisor común. Entonces como $(a,b)=1$ y $a\mid bc$ por lo que sabemos (1), se tiene que $a\mid c$. QED.

El argumento es básicamente el mismo del ejercicio, pero claramente la afirmación es falsa. Por lo que el argumento de reducir a primos relativos no puede ser correcto así porque sí, se tendría que argumentar….


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Re: euclides 4.2 por YoyontzinYoyontzin, 27 Aug 2014 00:49

Sí, en clase pensamos que sería bueno hacerlo por contrapositiva utilizando la descomposición en primos de a y b, después pensé que lo podía reducir a ese caso, pero sí, falta justificarlo bien, estaba pensando probarlo directo y también me encontré un error. Crees que usando la factorización es la forma más fácil de resolverlo bien?

Re: euclides 4.2 por karlocorikarlocori, 27 Aug 2014 00:31

$a^{n}|b^{n}\rightarrow a|b$, con $n\geq 1$.

Probémoslo por contrapositiva. Supongamos que $a$ no divide a $b$, entonces sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $(a,b)=1$, (eliminando factores comunes) y por el inciso anterior, esto implica que $(a^{n}, b^{n})=1$, por lo que $a^{n}$ no puede dividir a $b^{n}$.

esta prueba necesita ser argumentada. Por qué no hay perdida de generalidad? Cómo a partir del caso primos relativos generalizas?


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euclides 4.2 por YoyontzinYoyontzin, 26 Aug 2014 23:10

La solucíon propuesta es la siguiente:

Como $(a,b)=1$ existen $x\land y$ enteros tales que $ax+by=1$, multiplicando la igualdad por $c$, nos queda

(1)
\begin{equation} axc+byc=c \end{equation}

Ahora, como $(a,c)=1$, existen $w \land z$ enteros tales que $aw+cz=1$ Sustituyendo a $c$ de la ecuación anterior Eq.(1), nos queda $aw+bc(yz)=1$
Entonces encontramos una combinación lineal de $a \land bc$ igual a 1 :. $(a,bc)=1$

Sólo hay que aclarar que la $w$ de la última ecuación, no es la misma que en la Eq. 1.


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El problema estaba mal. Ya puse lo que debería decir.

Para escribir una demostración nueva, en la página de tareas, selecciona la opición de "editar" al final de la página. luego ve al problema que quieres resolver y encierra el texto (o parte de él) del problema entre tres corchetes cuadrados.


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Re: MCD Problema 5.1 por YoyontzinYoyontzin, 15 Aug 2014 05:10

Creo que deberíamos demostrar si son verdades las afirmaciones?
Porque podría tomar (2,3) = 1 y (2,9) = 1, pero (3,9) $\not=$ 1
pd: aún no sé cómo poner demostraciones editando la página :B

MCD Problema 5.1 por Roberto ChanRoberto Chan, 15 Aug 2014 03:03

La idea es correcta. Ahora hay que argumentar. En particular decir porqué hay una distancia minima, y eso de repetrir el proceso se puede argumentar con inducción (en el número de personas).


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