Encuentra una fórmula para calcular $\sigma_s(n)$ en términos de la factorización en primos de $n$.
Primero calculemos $\sigma_s(p^k)$ donde $p$ es un primo y $k$ un entero mayo a cero.
$\sigma_s(p^k) =\displaystyle \sum_{d\mid p^k} d^s$ como los únicos divisores de $p^k$ son $\{1,p,p^2,...,p^{k-1},p^k\}$ entonces:
$\sigma_s(p^k) =1+p^s+p^{2s}+...+p^{(k-1)s}+p^{ks}$ una suma geométrica, multiplicando por $p^s$ y restando de la original queda:
$\sigma_s(p^k) =\displaystyle\frac{p^{(k+1)s}-1}{p^s-1}$.
como $\sigma_s$ es multiplicatuva, entonces dado un entero $n > 1$ tiene una descomposición en primos $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}*...*p_r^{\alpha_r}$ entonces,
$\sigma_s(n)=\sigma_s(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}*...*p_r^{\alpha_r})=\sigma_s(p_1^{\alpha_1})\sigma_s(p_2^{\alpha_2})*...*\sigma_s(p_r^{\alpha_r})$
$\sigma_s(n)=\displaystyle\prod_{j=1}^r{\frac{p_j^{(\alpha_j+1)s}-1}{p_j^s-1}}$