Euclides4 2

$a^{n}|b^{n}\rightarrow a|b$, con $n\geq 1$.

Probémoslo por contrapositiva. Supongamos que $a$ no divide a $b$, entonces sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $(a,b)=1$, (eliminando factores comunes) y por el inciso anterior, esto implica que $(a^{n}, b^{n})=1$, por lo que $a^{n}$ no puede dividir a $b^{n}$.

esta prueba necesita ser argumentada. Por qué no hay perdida de generalidad? Cómo a partir del caso primos relativos generalizas?

Por el TFA, $a=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{r}^{e_{r}}$ y $b=p_{1}^{f_{1}}\cdots p_{r}^{f_{r}}$ con $p_{i}$ primo y $0\leq e_{i}, \: f_{i}$, (Si alguno de estos valores fuera cero, significaría que $p_{i}$ aparece en la descomposición de uno y no en la del otro). Entonces,

$a^{n}=p_{1}^{ne_{1}}\cdots p_{r}^{ne_{r}}$ y $b^{n}=p_{1}^{nf_{1}}\cdots p_{r}^{nf_{r}}$, de modo que si $a^{n}| b^{n}$ se tiene que $\forall i\: ne_{i}\leq nf_{i}$ lo que implica que $e_{i}\leq f_{i}$, por lo tanto $a|b$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License