Euclides 3 3

Si $(a,b)=1$, demostrar que $(a+b,a^{2}+b^{2})=1,2$-
Sea $d:=(a+b,a^{2}+b^{2})$. Como $d \mid a+b$, $d \mid (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$. Y como $d \mid a^{2}+b^{2}$, $d \mid 2ab$. (*)
Ahora, $d=1$ cumple esto pero si $d>1$, $d \nmid a,b$ pues esto sería una contradicción a que $(a.b)=1$. Entonces $d \mid 2$ y esto nos da $d=2$.
Por lo tanto, $d=1,2$. Esto completa la prueba.

Por lo que discutimos en clase, no es suficiente que $d\nmid a,b$ para concluir que tiene que dividir a 2, debemos usar los resultados de mcd 5 para probar que como $d\mid (a+b)$ y $(a,b)=1$ entonces $(d, ab)=1$ lo que nos permite concluir que $d\mid 2ab$, implica que $d\mid 2$, lo que completa la prueba, pues los únicos divisores positivos de 2, son 1y2.

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