Euclides 3 2

Si $(a,b)=1$, demostrar que $(2a+b.a.+2b) \in \{1,3\}$.
Sea $d:=(2a+b,a+2b)$, por lo tanto, al ser un divisor de esos números,divide a cualquier combinación lineal de ellos. En esto caso nos convienen las siguientes:
$d\mid (2(2a+b)-(a+2b))=3a$ y
$d\mid (2(a+2b)-(2a+b))=3b$.
Así, $d \mid (3a,3b)=3(a,b)=3(1)=3$. Como $d$ es positivo y no puede ser par tenemos que $d=1,3$, lo que completa la prueba.

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License