Esimo Primo Demuestra Que Ninguno De Los Numeros

Si $p_n$ es el $n$-ésimo primo, demuestra que ninguno de los números $p_1p_2\cdots p_n+1$ es un cuadrado perfecto:
Supongamos $p_1p_2\cdots p_n+1 =m^ {2}$. Esto implica $2p_2\cdots p_n= p_1p_2\cdots p_n=m^{2}-1=(m+1)(m-1)$ y así $m-1$ es par ó $m+1$ es par que de cualquier manera implica que $m$ es impar y por lo tanto $m-1=2k$ y $m+1=2k'$ son ambos pares.
Tenemos así $2p_2\cdots p_n= p_1p_2\cdots p_n=m^{2}-1=(m+1)(m-1)=2k2k'$ lo que implica $p_2\cdots p_n=2kk'$ pero $p_2\cdots p_n$ es impar, pues cada $p_{i}$ lo es, así que $p_1\cdots p_n + 1$ no puede ser un cuadrado perfecto.

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