Es Un Primo Impar Demuestra Que

P.d. Si $p≠5$ es un primo impar, demuestra que $p^2−1$ o $p^2+1$ es divisible por 10.

  • Caso 1. $p^2−1=(p-1)(p+1)$

Como $p$ es impar $p^2−1$ es par, esto es $p^2−1=2m$
Como $p\ne 5$ podemos tomar $p=5k+1$ o $p=5k+4$
Con $p=5k+1$ tenemos $p^2−1=(p-1)(p+1)$ $=(5k)(5k+3)=5(k(5k+3))$
Esto es $p^2−1=5(k(5k+3))=2m$ entonces $2|p^2−1$ y $5|p^2−1$ de ahi $10|p^2−1$

Con $p=5k+4$ tenemos $p^2−1=(5k+3)(5k+5)=5(5k+3)(k+1)$
Esto es $p^2−1=5(5k+3)(k+1)=2m$ entonces $2|p^2−1$ y $5|p^2−1$ de ahi $10|p^2−1$

  • Caso 2. $p^2+1$

Como $p$ es impar $p^2+1$ es par, esto es $p^2+1=2m$
Como $p\ne 5$ podemos tomar $p=5k+2$ o $p=5k+3$
Con $p=5k+2$ tenemos $p^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)$
Esto es $p^2+1=5(5k^2+4k+1)=2m$ entonces $2|p^2+1$ y $5|p^2+1$ de ahi $10|p^2+1$

Con $p=5k+3$ tenemos $p^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)$
Esto es $p^2+1=5(5k^2+6k+2)=2m$ entonces $2|p^2+1$ y $5|p^2+1$ de ahi $10|p^2+1$

Nota ojalá alguien pueda subir una demostración más corta.

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