Enton

Si $(a,b)=1$ entonces $(a^n,b^n)=1$.
Sabemos que existen $x,y \in \mathbb{Z}$ tales que $1=ax+by$ lo que nos da $1=(ax+by)^{2n-1}$ que al desarrollar nos da como resultado una expresión con $2n$ términos de los cuales los primeros $n$ términos tienen a $a^{n}$ como factor y los últimos $n$ términos tienen a $b^{n}$ como factor. Así, $\exists s, t \in \mathbb{Z}$ tales que $1=(ax+by)^{2n-1}=a^{n}s+b^{n}t$.
Por lo tanto, $(a^{n},b^{n})=1$.

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