El Cubo De Cualquier Entero Es De La Forma 9k O 9k 1 O 9k 8

Sea $n\in Z$, por el algoritmo de la división,
$n=3q+r$ para algún $q\in Z$ y $r=0,1,2$

Entonces
$n^{3}=3^{3}q^{3}+3(3^{2}q^{2}r)+3(3qr^{2})+r^{3}$
$=9[3q^{3}+3q^{2}r+ q r^{2}]+r^{3}$

Haciendo $k=3q^{3}+3q^{2}r+ q r^{2}$, obtenemos

$r=0\rightarrow n^{3}=9k$
$r=1\rightarrow n^{3}=9k+1$
$r=2\rightarrow n^{3}=9k+8$