Div 10 2

B.I. La afirmación se cumple para n=1 pues $2^{n}+(-1)^{n+1}=2+1=3$ y $3|3$
H.I. Suponemos que la afirmación se cumple para n. Es decir, existe un entero q tal que $2^{n}+(-1)^{n+1}=3q$
P.d. $3|2^{n+1}+(-1)^{n+2}$

(1)
\begin{equation} 2^{n+1}+(-1)^{n+2}=2(2^{n})+(-1)^{n+1}(-1) \end{equation}
(2)
\begin{equation} 2(2^{n})+(-1)^{n+1}(-1)=2(2^{n})-2^{n}(-1)+2^{n}(-1)+(-1)^{n+1}(-1) \end{equation}
(3)
\begin{equation} 2(2^{n})-2^{n}(-1)+2^{n}(-1)+(-1)^{n+1}(-1)=2^{n}(2-(-1))+(-1)(2^{n}+(-1)^{n+1}) \end{equation}
(4)
\begin{equation} 2^{n}(2-(-1))+(-1)(2^{n}+(-1)^{n+1})=3(2^{n})+(-1)(2^{n}+(-1)^{n+1}) \end{equation}

Por H.I. $2^{n}+(-1)^{n+1}=3q$

(5)
\begin{equation} 3(2^{n})+(-1)(2^{n}+(-1)^{n+1})=3(2^{n})+(-1)3q=3(2^{n}-q) \end{equation}

Sea $p=2^{n}-q$ entonces $2^{n+1}+(-1)^{n+2}=3p$
Por la definición de divisibilidad $3|2^{n+1}+(-1)^{n+2}$

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