Demuestra Que Si Todo Primo Que Divide A

Demuestra que si todo primo que divide a $n$ también divide a $m$, entonces $\phi \left( mn\right)=n\phi \left( m\right)$; en particular $\phi \left( n^{2}\right)=n\phi \left( n\right)$ para todo entero positivo $n$.

Sea $n=p_{1}^{\alpha_{1}}\ldots p_{r}^{\alpha_{r}}$, con $p_{1},\ldots ,p_{r}$ primos y $\alpha_{1},\ldots ,\alpha_{r}\in \mathbb{N}$

Como todo primo que divide a $n$ también divide a $m$, todo primo en la factorización de $n$ aparece también en la factorización en primos de $m$. Entonces $p_{1},\ldots p_{r}$ son factores de $m$:

$m=p_{1}^{\beta_{1}}\ldots p_{r}^{\beta_{r}}p_{r+1}^{\beta_{r+1}}\ldots p_{s}^{\beta_{s}}$

Entonces, $mn=p_{1}^{\alpha_{1}+\beta_{1}}\ldots p_{r}^{\alpha_{r}+\beta_{r}}p_{r+1}^{\beta_{r+1}}\ldots p_{s}^{\beta_{s}}$, y

$\phi \left( m\right)=m(1-\dfrac {1}{p_{1}})\ldots (1-\dfrac {1}{p_{r}})(1-\dfrac {1}{p_{r+1}})\ldots (1-\dfrac {1}{p_{s}})$

Por lo tanto, $\phi \left( mn\right)=\phi \left( p_{1}^{\alpha_{1}+\beta_{1}}\ldots p_{r}^{\alpha_{r}+\beta_{r}}p_{r+1}^{\beta_{r+1}}\ldots p_{s}^{\beta_{s}}\right)=mn(1-\dfrac {1}{p_{1}})\ldots (1-\dfrac {1}{p_{r}})(1-\dfrac {1}{p_{r+1}})\ldots (1-\dfrac {1}{p_{s}})=n\phi \left( m\right)$

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