Demostracion

El producto de cuatro enteros consecutivos es una unidad menor que un cuadrado perfecto.
Sean $n, n+1, n+1$ y $n+3$ cuatro enteros consecutivos.

Queremos ver que $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ es un cuadrado perfecto.

(1)
\begin{equation} n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2+n)(n^2+5n+6)=n^4+6n^3+11n^2+6n+1. \end{equation}

Estamos buscando un polinomio entonces que elevado al cuadrado nos de este último número.

Al estar siendo elevado al cuadrado como el grado de $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1$ es cuatro, necesitamos que dicho polinomio sea de la forma an2+bn+c.

Tenemos así:

(n2+n)(n2+5n+6)=n4++6n3+11n2+6n+1=(an2+bn+c)2=
a2n4+2abn3+b2n2+2acn2+2bcn+c2=
a2n4+2abn3+(2ac+b2)n2+2bcn+c2.

De donde es claro que $a,c=1$, por lo que nos queda un polinomio de la forma:

n4+2bn3+(2+b2)n2+2bn.

Lo que nos da $2b=6$ y (2+b2)=9 que en ambos casos da $b=3.$

Así, el número que buscamos es n2+3n+1 y una simple cuenta verifica que:

(n2+3n+1)2=n(n+1)(n+2)(n+3) + 1.


Otra forma de verlo, es notar que $n(n+1)(n+2)(n+3)=[(n+1)(n+2)][(n)(n+3)]$
$(n^{2}+3n+2)(n^{2}+3n)$
$=((n^{2}+3n+1)+1)((n^{2}+3n+1)-1)$
$=(n^{2}+3n+1)^{2}-1$

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