Dem

B.I. La afirmacion se cumple para n=1 $2^{2}-1=3$ y $3|3$

H.I. Suponemos que $3|2^{2^n}-1$ Esto es $2^{2^n}-1=3q$

P.d. $3|2^{2^(n+1)}-1$

(1)

\begin{equation} 2^{2^(n+1)}-1 = 2^{2n+2}-1 \end{equation}

(2)

\begin{equation} 2^{2n+2}-1 = 2^{2n} 2^{2}-1 \end{equation}

(3)

\begin{equation} 2^{2n} 2^{2}-1 = 4(2^{2n})- 1 \end{equation}

(4)

\begin{equation} 4(2^{2n})- 1 = (3+1)(2^{2n})- 1 \end{equation}

(5)

\begin{equation} (3+1)(2^{2n})- 1 = 3(2^{2n}) + 2^{2n}-1 \end{equation}

Por H.I. $2^{2^n}-1=3q$

(6)

\begin{equation} 3(2^{2n}) + 2^{2n}-1 = 3(2^{2n}) + 3q = 3(2^{2n}+q) \end{equation}

Haciendo $p=(2^{2n}+q)$ tenemos que $2^{2^(n+1)}-1 = 3p$
Por la definición de divisibilidad $3|2^{2^(n+1)}-1$