Criba3 1

Prueba que $\sqrt{p}$ es irracional para todo primo $p$

Demostración:

Supongamos que $\sqrt{p}$ $\in$ $Q$, $\Rightarrow$ $\sqrt{p}=\frac{a}{b}$ con $(a , b)=1$
Entonces $p=\frac{a^2}{b^2}$ $\Rightarrow$ $a^2=pb^2$
$\Rightarrow$ $p/a^2$

Usando la siguiente proposición: "Si $p$ es primo y $p/ab$ $\Rightarrow$ $p/a$ ó $p/b$":

$\Rightarrow$ $p/a$ $\Rightarrow$ $p^2/a^2$

y como $a^2=pb^2$

$\Rightarrow$ $p^2/pb^2$ $\Rightarrow$ $p/b^2$

Aplicando nuevamente la proposición anterior, $\Rightarrow$ $p/b$

Entonces $p/a$ y $p/b$ $\Rightarrow$ $p/(a,b)$ $\Rightarrow$ $p/1$.

Esto es una contradicción, pues ningún primo divide al $1$.

Por tanto, $\sqrt{p}$ $\notin$ $Q$.

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