Notemos que 2n > n2 se cumple para 0 y 1, sin embargo no lo hace para 2, 3 y 4.
Por tanto, tomemos como base inductiva cuando n = 5.
25 = 32 > 25 = 52 (se cumple).
Hipótesis de Inducción:
Suponer válido para n > 5. 2n > n2
Pd. para (n+1), i.e. 2(n+1) > (n+1)2
Sabemos por HI. que: 2n > n2 sii 2n(2) > (2)n2 sii 2(n+1) > (2)n2
(sumando un cero adecuado) —> 2(n+1) > (2)n2 + (2n + 1) - (2n + 1)
sii 2(n+1) > (n2 + 2n + 1) + n2 - 2n - 1 sii 2(n+1) > (n + 1)2 + n2 - 2n - 1
(sumando un cero adecuado) —> 2(n+1) > (n + 1)2 + n2 - 2n - 1 + (2 - 2)
sii 2(n+1) > (n + 1)2 + (n - 1)2 - 2
Notemos que (n - 1)2 > 0, o igual. Pero recordemos que por hipótesis n > 5
—> (5 - 1)2 - 2 > 0.
—> 2(n+1) > (n + 1)2 + (n - 1)2 - 2 > (n + 1)2
Por tanto: 2(n+1) > (n + 1)2 para todo n natural > 4