Aritmetica 4

Si $p\ge 5$ es un primo, muestra que $p^2+2$ es compuesto.

Por el algoritmo de la división $p$ es de la forma $p=3k+1$ o $p=3k+2$, claramente el residuo no puede ser cero porque $p$ es primo y es diferente de 3. (Si el residuo fuera cero tons 3 es fator de p)

si $p=3k+1$ entonces:

$p^2+2=(3k+1)^2+2$
$=9k^2+6k+3$
$=3(3k^2+2k+1)$

si $p=3k+2$ entonces:

$p^2+2=(3k+2)^2+2$
$=9k^2+12k+6$
$=3(3k^2+6k+2)$

De cualquier modo el 3 es factor de $p^2+2$ por lo tanto es compuesto.

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