Aplicacion

Un cliente compra una docena de frutas, que consiste de naranjas y manzanas por un precio de $132 pesos. Si una manzana cuesta 3 pesos más que una naranja. ¿Cuántas naranjas y cuántas manzanas compró?

Sean $P:=$ precio de la naranja, $N:=$ número de naranjas y $M:=$ número de manzanas, entonces sabemos que $N+M=12$ y tenemos la siguiente ecuación:

$PN + (P+3)M=132$
$P(N+M)+ 3M=132$
$12P+3M=132$

Una solución es $P=11 \: \mbox{y}\: M=0$ de donde obtendríamos que compró 12 naranjas cuyo costo era de $11 y ninguna manzana.

El resto de las soluciones de dicha ecuación, está dada por las fórmulas $P=11+t$ y $M=-4t$ con $t\in Z$, por supuesto, nos interesarán sólo aquellas soluciones con $P$ y $M$ no negativos.

Si $t=-1$, obtenemos $P=10$ y $M=4$, i.e., compró 4 manzanas cuyo costo era de $13 y 8 naranjas.

Para $t=-2$, obtenemos $P=9$ y $M=8$, i.e., compró 8 manzanas de $12 y 4 naranjas.

Para $t=-3$, obtenemos $P=8$ y $M=12$, i.e., compró 12 manzanas de $11 y ninguna naranja.

Las anteriores son las únicas posibilidades, pues cualquier otro valor de $t$ nos daría algún valor negativo o no satisfacería la condición $N+M=12$.

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