4euclides 3 4

Si $(a.b)=1$, $(a+b, a^2-ab +b^2) = 1,3$.
Sea $d:= (a+b, a^2-ab +b^2)$. Usaremos las siguientes dos relaciones:
$d \mid (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$,
$d \mid (a^2-ab +b^2)$.
Así, $d$ divide a cualquier combinación lineal de estos dos números y la que nos conviene es:
$d \mid ((a^{2}+2ab+b^{2})-(a^2-ab +b^2))=3ab$.
Si $d=1$, ya cabamos. Si $d>1$, $d \nmid a,b$ pues esto sería una contradicción a $(a,b)=1$. Así, $d \mid 3$ y como no puede ser par, $d=3$.
Por lo tanto, $d=1,3$ y esto completa la prueba.

misma observación que en el inciso anterior

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