Información General

occProfesor: Dr. Jesús Rogelio Pérez Buendía (Instituto de Matemáticas (UNAM))

Horario: Lu-Mi-Vi 9-10 am

Ayudante: Karla Lorena Cortez (Ma JU 9-10am)

Salón: P-203 Facultad de Ciencias UNAM

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Claes en el IMATE

El día de mañaa Octubre 22, 2014, la clase será en el instituto de matemáticas a las 9am.

No pude conseguir que me asginaran un salón para la clase. Ni hablar.

Temas para proyectos finales

  1. Sumas cuadráticas de Gauss
  2. Campos finitos (aplicación a los residuos cuadráticos)
  3. Campos finitos (contando soluciones de ecuaciones)
  4. La Ecuación de Pell
  5. Números de Bernullí
  6. Los Números p-ádicos
  7. Reciprocidad cúbica
  8. Campos numéricos (la factorización única)
  9. Campos Cyclotómicos
  10. Criptografía: El logaritmo discreto
  11. Criptografía: Factorización de enteros y el RSA
  12. Computo: El algoritmo rápido de potencias.
  13. La función $\zeta$ y el teorema de los números primos.

Exámenes

  1. Primer Examen: Jueves 11 Jueves 18 de Septiembre.

Temario

  1. Divisibilidad (Examen el Jueves 11 Jueves 18 de Septiembre)
    1. Inducción
    2. Algoritmo de la División
    3. MCD
    4. Ecuaciones Diofantinas lineales
    5. Números Primos y Compuestos
    6. Teorema Fundamental de la Aritmética
    7. Suma de Divisores
    8. Función ø de Euler
    9. La fórmula de Inversión de Moebius
    10. Números Perfectos, de Mersenne y Fermat
    11. La funcíon mayor entero
  2. Teoría de Congruencias
    1. Propiedades Básicas
    2. Sistemas Completos de Residuos y Reducidos.
    3. Teorema de Fermat, de Euler y de Wilson
    4. Ecuaciones Diofantinas Lineales
    5. Teorema Chino del Residuo
    6. Sistemas de Congruencias Lineales
    7. Congruencias Cuadráticas
  3. Aplicaciones de la Teoría de Congruencias
    1. Criptografía
    2. Prácticas de Computo.
  4. Reciprocidad Cuadrática
    1. Residuos Cuadráticos
    2. Reciprocidad Cuadrática
    3. Símbolos de Jacoby y de Legandre
    4. El Descenso Infinito.
    5. Suma de Tres o Cuatro Cuadrados.
    6. Ternas Pitagóricas
    7. Teorema de Fermat.
    8. Curvas elípticas.

Bibliografía Sugerida

Método de Evaluación

Se realizarán 4 exámenes parciales, uno por cada tema del curso. Habrá un examen final obligarorio y un proyecto final obligatorio además de tareas cada dos semanas aproximadamente.

La calificación final será calculada como la mayor nota entre el las calculadas vía Esquema 1 y Esquema 2.

Esquema 1

Exámenes: 60% (Se considerarán sólo las 3 mejores notas de los 4 exámenes).

Examen Final: 10% (Es obligatorio para aprobar la materia)

Proyecto Final 10% (Obligatorio para pasar la materia)

Tareas: 20%

Esquema 2

Examen final: 90% (Obligatorio para aprobar)

Trabajo final: 10% (Obligatorio para aprobar)

En cada esquema es necesario aprobar cada uno de los renglones. La calificación mínima para aprobar es de 6/10.

También es importante notar que NO HABRA exámenes de reposición. Es por esto que sólo se consideran los tres mejores exámenes de los cuatro que habrá. Los exámenes se realizaran al finalizar el tema correspondiente.

¿Qué es la Teoría de Números?

La Teoría de Números es la rama de las matemáticas que fue desarrollada para estudiar las propiedades de los números enteros:

(1)
\begin{align} \mathbb{Z}:= \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2 ,3. \ldots\} \end{align}

y de las diversas estructuras que obtenemos a partir de ellos, como por ejemplo, el campo de los números racionales o el campo de los racionales $p$-ádicos. La Teoría de Números es una de las ramas de la matemática más antiguas; trabajada ya por los antiguos Babilonios, Griegos y también, de manera independiente y un poco después, por los Chinos y los Indios.

La relación entre las estructuras aditiva y multiplicativa de los números enteros son tan fascinantes que han hecho de la teoría de números una basta y fértil área de investigación. C. F. Gauss, quien es conocido como el príncipe de las matemáticas, se refería a las matemáticas como la reina de las ciencias y a la Teoría de Números como la reina del las matemáticas.

Muchos problemas en teoría de números pueden ser formulados en un lenguaje relativamente sencillo. Por ejemplo:

  • El famoso último Teorema de Fermat: establece que la ecuación
(2)
\begin{equation} x^n +y^n = z^n \end{equation}

no tiene soluciones en los números enteros, distintas de las triviales, para $n\ge 3$.

  • La Conjetura de los Primos Gemelos: esta se pregunta si existen infinidad de números primos $p$, tales que también $p+2$ es primo.
  • La Conjetura de Goldbach: dice que dado un entero par $a\geq 4$ la ecuación $x+y=a$ tiene solución en números primos.
  • La conjetura de la suma de tres cubos: dice que si $n$ es un entero que no es de la forma $9k+4$ ni $9k+5$ entonces $x^3+y^3+z^3 = n$ tiene una solución en enteros $x,y,z$.

Ejercicio: ¿Existen enteros $x,y,z$ tales que $x^3 + y^3+z^3 =29$? (Sí, (3,1,1)). Hay otro? (−283059965,−2218888517, 2220422932) descubierta en 1999 por E. Pine, K. Yarbrought et al.
¿Hay soluciones de $x^3 + y^3+z^3 =33$? Nadie sabe.

Aunque estas preguntas son fácilmente establecidas, son tan profundas que han resistido intentos de prueba por siglos. El último teorema de Fermat, ahora conocido como el teorema de Weils-Fermat, fue probado en el año 1995 por A. Wiles gracias al trabajo acomunado de varios matemáticos y por muchas generaciones (por más de 350 años) (ver este libro), mientras que la conjetura de los primos gemelos, Goldbach, etc. siguen siendo aún problemas abiertos.

En el año 1900, en el famoso congreso internacional de matemáticas en Paris, el gran Matemático David Hilbert propuso una serie de 23 problemas, algunos aún sin resolver; entre ellos está el famoso problema 10 de Hilbert (H10) que pregunta lo siguiente:

  • H10: Encuentra un algoritmo que nos diga si una ecuación polinomial con coeficientes enteros tiene, o no, solución en los enteros. Es decir, un algoritmo de la forma:

input: Un polinomio en varias variables $f(x_1,\ldots, x_n)$ con coeficientes enteros.
output: Si o No, dependiendo si existe solución $a=(a_1,\ldots, a_n)\in \mathbb Z^n$ tal que $f(a)=0$.

Pidiendo que el algoritmo sea tan sofisticado como el de multiplicar números en primaria. Tenemos el Teorema de Davis-Putnam-Robinson 1961 Matijasevich 1970 que dice que NO existe un tal algoritmo.

Esta es una de las razones por las que se dice que La Teoría de Números es Difícil.

Entre otras cosas en este curso vamos a aprender ciertas técnicas que sí nos permiten dar solución a casos particulares de problemas como el anterior (polinomios lineales y cuadráticos).

La mayor dificultad en demostrar resultados relativamente sencillos en la teoría de números ha dotado de muchos nuevos conceptos matemáticos. Al paso de los siglos esta disciplina ha crecido mucho y ha creando fuertes lazos con otras áreas de la matemática tales como la Geometría Algebraica, la Teoría de Representaciones de Grupos, la Combinatoria, la Probabilidad, el Análisis Armónico, el Análisis Complejo; y aunque la teoría de números fue originalmente estudiada por su interés intrínseco, digamos por el puro gusto de hacer matemáticas, esta también ha sido estudiada por su influencia en el desarrollo de otras áreas que han demostrado tener importantes aplicaciones como la Criptografía y la Teoría de Códigos.

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YoyontzinYoyontzin desde 26 Jul 2014 04:02
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